Идеальный источник тока Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Баланс мощностей Уравнения электрического равновесия Цепи со связанными индуктивностями Резонанс в электрических цепях

Основы теории цепей Расчет электрической цепи

Изложены основные методы расчета сложных электрических цепей. Рассмотрены линейные цепи постоянного и синусоидального тока в установившихся режимах. Дан обзор наиболее значимых методов расчета таких цепей.

Режим гармонических колебаний в линейных цепях. Метод комплексных амплитуд

Гармонические колебания. Среднее, средневыпрямленное и действующее значения  гармонических токов и напряжений.

Метод комплексных амплитуд. Понятие о символических методах. Комплексные изображения гармонических функций времени. Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи. Комплексная схема замещения цепи. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Общая схема применения метода комплексных амплитуд

Цели изучения

Определение общего подхода к анализу линейных цепей при гармоническом воздействии

Рассмотрение метода комплексных амплитуд как наиболее удобного для анализа линейных цепей при гармоническом воздействии

3.1. Гармонические колебания

Определение гармонического колебания

Электромагнитные процессы в электрической цепи, при которых мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени, называются периодическими, для их количественного описания используются периодические функции времени. Наименьший промежуток времени T, по истечении которого наблюдаются повторения мгновенных значений периодических функций a(t) называется периодом:

a(t + T) = a(t).

Величина, обратная периоду, т.е. число периодов в единицу времени, называется частотой:

f = 1/T.

Частота имеет размерность 1/с, а единицей измерения частоты служит герц (Гц).

Преобладающим видом периодических процессов в электрических цепях являются гармонические колебания, которые описываются синусоидальными или косинусоидальными  функциями:

u(t) = Umcos(wt + j);

u(t) = Umsin(wt + y),

где Um – максимальное значение или амплитуда;

w - скорость изменения аргумента (угла), называемая угловой частотой; она равна произведению 2pf и измеряется в радианах в секунду (рад/с);

j и y - начальные фазы, определяемые смещением гармонических функций относительно начала координат при t = 0.

Поскольку обе записи гармонической функции являются эквивалентными при y = j + p/2, то при анализе электрических цепей используют одну. В настоящем конспекте будет использоваться косинусоидальная функция.

Гармонические колебания обладают важным свойством сохранять форму и частоту при преобразованиях в линейных цепях. Поэтому они используются при изучении и описании характеристик линейных цепей и систем.

Среднее, средневыпрямленное и действующее значения
гармонических токов и напряжений

Токи и напряжения цепи, изменяющиеся по гармоническому или другому периодическому закону, наряду с другими параметрами характеризуются средними за период, средневыпрямленными и действующими значениями.

Среднее значение периодической функции a(t) за период  определяется выражением

 (3.1)

Среднее значение гармонической функции за период равно нулю, так как площадь ограниченная положительной полуволной и осью времени, равно площади, ограниченной отрицательной полуволной осью абсцисс.

Средневыпрямленным значением периодического тока или напряжения называется среднее значение модуля соответствующей периодической функции a(t) за период:

 (3.2)

Средневыпрямленное значение гармонического тока или напряжения равно среднему значению соответствующей гармонической функции a(t) на положительном полупериоде.


Средневыпрямленное значение гармонического колебания равно
:

Aср.в=(p/2)Am=0,637Am. (3.3)

Действующим значением периодической функции a(t) называется среднеквадратичное значение этой функции за период 

(3.4)

Действующее значение A гармонической функции a(t) в раз меньше ее амплитуды:

. (3.5)

Метод контурных токов

Число независимых уравнений по этому методу равно числу независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. В общем случае система уравнений для n контурных токов имеет вид:

I11r11+I22r12+……+Innr1n=E11 , 

I11r21+I22r22+……+Innr2n=E22 ,

I11rn1+I22rn2+……+Innrnn=Enn , 

где коэффициент rkk- собственное сопротивление k-го контура, для которого составляется уравнение по данному методу. Данное сопротивление равно сумме всех сопротивлений, входящих в контур, и берется со знаком "плюс", так как направление обхода контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного тока Ikk;

коэффициент rik=r­ki ( i¹k ) - взаимное (или общее) сопротивление, равное сопротивлению общей ветви для контуров i и k, берется со знаком "минус" при встречном направлении контурных токов в рассматриваемой ветви;

Ekk- контурная ЭДС k-го контура, равная алгебраической сумме ЭДС, действующих в данном контуре. ЭДС, совпадающая по направлению с направлением обхода контура, берется со знаком "плюс".

Примечание. При наличии в схеме источников тока они могут быть заменены эквивалентными источниками напряжения. Если же источники тока идеальные, то заданные токи рассматриваются как контурные токи. При этом в ветвях с источниками тока должен быть один контурный ток, равный току соответствующего источника тока. В этом случае число уравнений по методу контурных токов сокращается на число заданных источников тока.


Воспользуемся методом контурных токов