Идеальный источник тока Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Баланс мощностей Уравнения электрического равновесия Цепи со связанными индуктивностями Резонанс в электрических цепях

Основы теории цепей Расчет электрической цепи

Изложены основные методы расчета сложных электрических цепей. Рассмотрены линейные цепи постоянного и синусоидального тока в установившихся режимах. Дан обзор наиболее значимых методов расчета таких цепей.

Уравнения электрического равновесия

Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами. Если ко входам прикладывается внешнее воздействие, то на выходах наблюдается реакция.

В теории цепей решается две взаимообратные задачи.

1) задача анализа.

Исходные данные: воздействие, схема цепи, параметры всех элементов. Требуется определить реакцию цепи. В ряде случаев определяется не сама реакция, а отношение реакции цепи к воздействию. Такие отношения называются системными функциями (характеристиками) цепи. В зависимости от того, что является аргументом системной функции – частота или время, различают временные и частотные характеристики.

2) задача синтеза.

Исходные данные: воздействие на цепь и реакция цепи. Требуется определить структуру цепи и параметры элементов.

Анализ и синтез взаимосвязаны. Для того, чтобы проводить синтез цепей, необходимо владеть анализом.

Точность и корректность анализа во многом зависят от выбранных моделей элементов цепи. Цепь, составленная из моделей элементов, называется расчётной (моделирующей) цепью (в отличие от реальной). Далее в курсе будут рассматриваться расчётные электрические цепи, однако для краткости слово «расчётная» или «моделирующая» пропустим.

Математически задача анализа сводится к составлению и решению системы уравнений, в которой неизвестными являются токи и напряжения ветвей исследуемой цепи. Так как данная система описывает состояние цепи (токи и напряжения ветвей) в любой момент времени, то уравнения называются уравнениями электрического равновесия. Если все уравнения в системе первого порядка, то число независимых уравнений в системе должно быть равно числу неизвестных токов и напряжений.

Для формирования уравнений электрического равновесия используются законы Кирхгофа и компонентные уравнения. На практике применяют методы, позволяющие упростить формирование уравнений электрического равновесия: методы контурных токов, узловых напряжений, переменных состояния, методы, основанные на использовании теорем теории цепей.

Система уравнений электрического равновесия может быть преобразована в одно дифференциальное или алгебраическое уравнение относительно одного неизвестного тока или напряжения. Дифференциальное уравнение содержит информацию о характере процессов в цепи и является основой для классификации цепей. Тип дифференциального уравнения определяется топологией цепи и характером входящих в неё элементов.

Классификация электрических цепей

Электрические цепи могут быть классифицированы по ряду признаков

по топологическим особенностям: планарные – непланарные (плоские –объёмные), разветвлённые – неразветвлённые, простые – сложные и т.д.

по энергетическим свойствам: активные – пассивные,

по числу внешних выводов: двухполюсники, трёхполюсники, многополюсники.

Фундаментальный характер имеет классификация цепей в зависимости от вида дифференциального уравнения цепи.

Цепи с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такое описание справедливо, если длина волны электромагнитных колебаний существенно больше размеров исследуемого устройства. При этом каждый из основных электрических эффектов проявляется в конечном числе пространственно локализуемых областей.

Цепи с распределёнными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Это описание справедливо, когда длина волны электромагнитных колебаний соизмерима с размерами исследуемого устройства, и необходимо учитывать зависимость токов и напряжений от пространственных координат.

Линейные цепи (цепи, не содержащие нелинейных элементов) описываются линейными дифференциальными уравнениями. Нелинейным электрическим цепям соответствуют нелинейные дифференциальные уравнения.

Параметры пассивных элементов и коэффициенты управления управляемых источников могут быть постоянными, либо изменяться с течением времени под действием различных факторов. Если цепь содержит только элементы с постоянными параметрами, то она описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Если в цепи есть хотя бы один элемент с изменяющимися параметрами, ло цепь называется параметрической и описывается дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами.

В общем случае дифференциальное уравнение линейной цепи с сосредоточенными параметрами имеет вид:

где s(t) - искомая реакция цепи;

a0, an-1, an – коэффициенты, определяемые параметрами пассивных элементов и коэффициентами управления источников;

f(t) –линейная комбинация функций, описывающих внешнее воздействие, и их производных.

Порядок дифференциального уравнения равен порядку сложности цепи и равен числу реактивных элементов, энергетическое состояние которых может быть задано независимо.

Состояние теории цепей во многом зависит от уровня развития теории дифференциальных уравнений. В настоящее время наиболее законченный вид имеет теория линейных электрических цепей с постоянными коэффициентами.

Выводы

Для описания соединений элементов используют термины: последовательное соединение, параллельное соединение, смешанное соединение и др.

При топологическом описании цепи используют понятия ветвь, узел, контур.

В произвольной электрической цепи выполняются условия баланса токов в узле и напряжений в контуре, выражаемые законами Кирхгофа.

Математическое описание цепи – система уравнений электрического равновесия. Она формируется из топологических уравнений (составленных по законам Кирхгофа) и компонентных уравнений (устанавливающих связь между током и напряжением на элементе).

Система уравнений электрического равновесия преобразуется в одно уравнение, вид которого определяется свойствами цепи.

Классификация цепей производится в зависимости от вида уравнения электрического равновесия.

Режим гармонических колебаний в линейных цепях. Метод комплексных амплитуд.

Метод комплексных амплитуд Понятие о символических методах.

Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи Рассмотрим произвольную линейную цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим воздействием.

Комплексное входное сопротивление может быть представлено в виде вектора, расположенного в комплексной плоскости, длина которого в определенном масштабе, равна , а угол наклона к положительной вещественной полуоси равен  (рис. 3.3, а).

Порядок расчета методом контурных токов

1) Выбираем независимые контуры и наносим на схему положительные направления контурных токов. Для независимости контуров необходимо, чтобы каждый из последующих отличался от предыдущего хотя бы одной новой ветвью.

2) Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа для выбранных положительных направлений контурных токов.

3) Решая систему уравнений (1), определяем искомые контурные токи Ikk .

4) Выбранные ранее положительные токи в ветвях находим как алгебраическую сумму контурных токов.

Ток в ветви, принадлежащей одному контуру, будет равен соответствующему контурному току со знаком "плюс" или "минус" в зависимости от направления токов. В ветви, принадлежащей нескольким контурам, ток определяется как алгебраическая сумма контурных токов.


Pyramid3dmc.ru читать дальше.
Воспользуемся методом контурных токов