Параллельный колебательный контур Анализ сложных линейных цепей Анализ цепей синусоидального тока Измерение разности фаз Воспользуемся методом контурных токов.

Основы теории цепей Расчет электрической цепи

Первый трактат по электричеству, вышедший в 1753 г., принадлежит нашему великому соотечественнику М. В. Ломоносову - "Слово о явлениях воздушных, от электрической силой происходящих", посвященный теории атмосферного электричества.

Записать мгновенное значение тока, если задано его комплексное действующее значение  и синусоидальный закон изменения.


Решение. Для записи мгновенного значения необходимо определить амплитуду и начальную фазу тока. Длина вектора, проведенного из начала координат комплексной плоскости в точку, соответствующую комплексному числу, и называемого модулем, есть действующее значение тока

Максимальное (амплитудное) значение тока  Угол yi, образуемый вектором  и положительным направлением вещественной оси, называемый аргументом комплексного числа – есть начальная фаза тока. Положительное направление отсчета углов – против часовой стрелки. Вектор тока расположен во второй четверти комплексной плоскости (вещественная часть тока – отрицательна, а мнимая – положительна).

  Угол, образуемый вектором с вещественной осью, определяется как арктангенс отношения мнимой части комплексного числа к вещественной. Поэтому начальная фаза тока

  yi=180°-arctg(2/1)=180°–63°30'=116°30':


Таким образом, мгновенное значение тока

 Пример 3. В схеме (рис. 9) заданы u=56×sin(wt-p/2), r1=3.5 Ом, XC1=11.5 Ом, r2=XL3=XL1=4 Ом, XC2=r3=3 Ом. Определить все токи, показания вольтметра и амперметра электромагнитной системы, активную, реактивную и полную мощности. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.


Решение. Записываем комплексное действующее значение напряжения

Приведем схему к виду, показанному на рис. 10, где

Z1=r1+j(XL1–XC1)=3.5+j(4–11.5)=3.5-j7.5,

Z2=r2–jXC2=4-j3,

Z3=r3+jXL3=3+j4.


Определяем эквивалентное сопротивление параллельного участка a–b:


Комплексное входное сопротивление всей схемы

Zвх=Z1+Zab=(3.5-j7.5)+(3.5+j0.5)=7-j7=7×e-j45°

Входной ток



Действующее значение тока


Определяем напряжение на зажимах a–b параллельного участка

вольтметр покажет V=||=20 B, а амперметр A=||=4 A.


Токи в параллельных ветвях

Токи  и  могут быть определены по формулам


Вычислим активные и реактивные составляющие токов I2 и I3.

 Угол сдвига фаз между напряжением  и током  (он равен аргументу Z2) равен j2=yuab–yi2=-36°50'–0=-36°50', а угол сдвига фаз между  и

j3=yuab–yi3=-36°50'–(-90°)=53°10'.

Тогда активные составляющие токов I2 и I3

I2a=I2 cosj2=4×cos(-36°50')=4×0.8=3.2,

I3a=I3 cosj3=4×cos(53°10')=4×0.6=2.4.

Реактивные составляющие токов I2 и I3

I2р=I2 sinj2=4×sin(-36°50')=-4×0.6=-2.4,

I3р=I3 sinj3=4×sin(53°10')=4×0.8=3.2.


Наконец, определим полную, активную и реактивную мощности в схеме. Запишем мощность в комплексной форме:

где – полная мощность в комплексной форме;

 P=Re()=U×I×cosj  – активная мощность;

 Q=Jm()=U×I×sinj  – реактивная мощность;

 I* – комплексный ток, сопряженный с .

Таким образом, мощность источника


Следовательно,

Активная мощность, поступающая из источника, рассеивается в виде тепла в сопротивлениях резисторов схемы;

P=Pr1+Pr2+Pr3=I12r1+ I22r2+ I32r3=(4)2×3.5+42×4+42×3=224 Вт.

Активная мощность в резисторах r2 и r3 может быть определена и так:

Pr2=Uab×I2a=Uab×I2×cosj2=20×3.2=64 Вт; 

Pr3=Uab×I3a=Uab×I3×cosj3=20×2.4=48 Вт.

Реактивную составляющую полной мощности можно определить также следующим образом:

Q=QL–QC=(I12XL1+I32XL3)–( I12XC1 +I22XC2)=[(4)2×4+42×4]–[(4)2× 11.5+42×3]=-224 вар,

а для реактивных мощностей участка a–b

QC2=Uab×I2×sinj2=Uab×I2p=20(-2.4)=-48 вар,

QC3=Uab×I3×sinj3=Uab×I3p=20×3.2=64 вар.

Баланс мощностей выполняется.

 На рис. 11 приведена векторная диаграмма токов, построенная в комплексной плоскости на основании первого закона

Кирхгофа


Для построения векторной диаграммы напряжений для любого контура (всей цепи) следует предварительно рассчитать напряжения на всех пассивных элементах и источниках токов схемы, задавшись их положительным направлением.


На рис. 11 приведена векторная диаграмма, построенная согласно уравнению по второму закону Кирхгофа


где

=×r1=(4-j4)×3.5=14-j14=14×e-j45°;

c1=1×(-jXc1)=(4-j4)(-j11.5)=-46–j46=46×e-j135°;

r3=3×r3=-j4×3=-j12=12×e-j90°;

L3=3×jXL3=-j4×j4=16=16×ej0°;

L1=1×jXL1)=(4-j4)×j4=16+j16=16×ej45°;

=-j56=56×e-j90°; ab= r3+ L3;

r2=2×r2=4×4=16=16×ej0°;

C2=2×(-jXc2)=4×(-j3)=-j12=12×e-j90°;

а напряжение на параллельных ветвях ab= r2+ С2=16-j12.

Построение начинаем, например, с вектора r1, который совпадает по направлению с током 1. Вектор С1 отстает от вектора тока 1 на угол 90° . Вектор напряжения r3 совпадает с направлением тока 3 и т. д. Векторные диаграммы построены для комплексных действующих значений токов и напряжений (для комплексных амплитуд векторы должны быть умножены на ).

Законы Кирхгофа

Число независимых уравнений n, составляемых по законам Кирхгофа, равно числу неизвестных. В данном случае:

n=в–ви ,

где в- общее число ветвей, ви- число ветвей с источниками тока.

                Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа n1 равно

                n1=у–1 ,

где у- число узлов. Если в схеме имеются ветви, включающие только идеальные источники ЭДС, то число уравнений уменьшается на это количество ветвей.

                Первый закон Кирхгофа записывается для узлов: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Правило знаков: токи, втекающие в узел, берутся со знаком "минус", а вытекающие – со знаком "плюс".

                Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа n2 равно

                n2=n–n1

                При этом в каждом независимом контуре выбирается условно положительное направление обхода. Второй закон Кирхгофа записывается для контуров: алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС этого контура. Правило знаков: напряжение или ЭДС имеют положительный знак, если их направление совпадает с направлением обхода.


Пример расчета резистивной цепи