Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отображения множеств, понятия образа и прообраза. Множество вещественных чисел. Функция. Сложные и обратные функции. График функции.Пример. Вычислить определитель
.
Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель:
, равный исходному.
Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.
Пример. Для матрицы А =
найти обратную.
Решение. Находим сначала детерминант матрицы А
D = det А == 27 ¹ 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: А-1 = 1/D
, где Аi j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов аi j исходной матрицы. Имеем:
![]()
![]()
![]()
![]()
откуда А-1 =
.
Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
А =
; В = АТ=
;
другими словами, bji = aij.
В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:
(ABC)T = CTBTAT,
при условии, что определено произведение матриц АВС.
Пример. Даны матрицы А =
, В =
, С =
и число a = 2. Найти АТВ+aС.
AT =
; ATB =
×
=
=
;
aC =
; АТВ+aС =
+
=
.
Вычислить определитель матрицы |