Пример. Вычислить определитель 
.
Решение. Если к каждой строке определителя,
начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором
все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно,
получим определитель: 
, равный
исходному.
Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.
Пример.
Для матрицы А = 
найти обратную.
Решение. Находим сначала детерминант
матрицы А
D = det А = 
= 27 ¹ 0,
значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: А-1 = 1/D
, где Аi j (i,j=1,2,3) - алгебраические
дополнения элементов аi j исходной матрицы. Имеем: 
откуда А-1 = 
.
Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
А = 
; В = АТ=
;
другими словами, bji = aij.
В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:
(ABC)T = CTBTAT,
при условии, что определено произведение матриц АВС.
Пример. Даны матрицы А = 
, В = 
, С = 
и число a = 2.
Найти АТВ+aС.
AT = 
; ATB = × = 
= 
;
aC
= 
; АТВ+aС = + = 
.