Криволинейный интеграл второго рода Исследовать систему уравнений Ряды Вычислить интеграл Исследовать на сходимость ряды Поверхностный интеграл Найти массу пластины Найти объем тела

Задачник с решениями по высшей математике

Задача. Найти сумму ряда.

Сумма ряда где - сумма n первых членов ряда.

Сумма ряда

Задача. Исследовать на сходимость ряд.

При любых значениях n выполняется неравенство

Ряд  является расходящимся (гармонический ряд), значит расходится и исследуемый ряд.

Задача Исследовать на сходимость ряд.

Сравним этот ряд с рядом .

Мы можем сделать это, т.к.

Интегральный признак Коши

Ряд   сходится, значит сходится и исследуемый ряд.

 Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

 Пример.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

  Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

  Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наименьшего и наибольшего значений, промежуточные значения.
Изменить порядок интегрирования