Криволинейный интеграл второго рода Исследовать систему уравнений Ряды Вычислить интеграл Исследовать на сходимость ряды Поверхностный интеграл Найти массу пластины Найти объем тела

Задачник с решениями по высшей математике

Тройной интеграл Определение тройного интеграла

Рассмотрим некоторую поверхность .

Определение 1. Поверхность  называется простой поверхностью, если она распадается на конечное число частей, имеющих уравнение , или , или , причём функции  и  непрерывны в некоторой простой области .

В дальнейшем мы будем рассматривать пространственные области, ограниченные простыми поверхностями, мы будем выделять простые пространственные области, определения которых аналогично определению простой плоской области, рассмотренной выше.

Остановимся теперь на понятии объёма тела , ограниченного простой поверхностью . Для этого поместим тело  целиком внутрь параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям ,  и . Разобьём далее параллелепипед плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на ячейки. Обозначим через  сумму объёмов ячеек, целиком лежащих внутри тела   и не имеющих ни одной общей точки с поверхностью , ограничивающей тело . Обозначим через  сумму объёмов ячеек, имеющих с телом  или его поверхностью хотя бы одну общую точку. Очевидно, что . Наибольший из диаметров ячеек назовём рангом дробления . Если существует общее значение

при условии, что число ячеек бесконечно увеличивается, а ранг дробления стремится к нулю, то число  называется объёмом тела , а само тело называется кубируемым.

Задача. Вычислить.

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Рассмотрим класс множеств . Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс  всех борелевских множеств на прямой.

Рассмотрим класс множеств . Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс  всех борелевских множеств на прямой.

Рассмотрим класс множеств . Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс  всех борелевских множеств на прямой.

Рассмотрим класс множеств . Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс  всех борелевских множеств на прямой.

Рассмотрим класс множеств . Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс  всех борелевских множеств на прямой.

Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наименьшего и наибольшего значений, промежуточные значения.
Изменить порядок интегрирования