Решить систему уравнений методом Гаусса Дифференциальные уравнения, вычислить интеграл Вычислить определитель Построить график функции Найти сумму ряда Вычислить пределы функций

Самостоятельная работа по высшей математике

Пример. Построить график функции .

Здесь функция не определена в точке  (корень знаменателя), а отношение старших коэффициентов равно . Значит,   – вертикальная асимптота, а  – горизонтальная асимптота искомой гиперболы (пунктирные линии на рис. 12.32). Далее, если , то , а если , то .

С помощью контрольных точек  и  строим одну ветвь гиперболы. Вторая ветвь симметрична первой относительно точки . График функции изображен на рис. 12.32. 

Пример. Построить график функции .

Запишем функцию в виде . Построение графика выполним в несколько этапов:

 


1) Произведем параллельный перенос системы координат, выбрав в качестве начала новой системы точку . В системе координат  нам необходимо построить график функции .

2) Строим график функции (пунктирная линия).

3) Выполнив сжатие графика к оси  с коэффициентом 2 получим график  (штрихпунктирная линия).

4) Растягивая последний график от оси  с коэффициентом 2, получим график исходной функции (сплошная линия)

Уравнение плоскости в отрезках.

 Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

,

заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:

  Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости в векторной форме.

  где

- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

 - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

a, b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

  В координатах это уравнение имеет вид:

xcosa + ycosb + zcosg - p = 0.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

 Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

 

Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Методы определения разложимости и неразложимости матрицы. Алгебраические и итеративные методы нахождения собственного вектора, соответствующего наибольшему положительному собственному значению. Некоторые матрицы специального вида.
Вычислить определитель матрицы