Двойные интегралы Вычисление производной порядок интегрирования Найти неопределенные интегралы Найти объем тела Найти решение задачи Коши Вычислить длины дуг кривых Тройной интеграл

Конспект лекций по высшей математике примеры задачи

Задача 15. Вычислить пределы функций.

Задача 16. Вычислить пределы функций.

Задача 17. Вычислить пределы функций.

Задача 18. Вычислить пределы функций.

Задача 19. Вычислить пределы функций.

Задача 20. Вычислить предел функции или числовой последовательности.

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА (ПО ДЛИНЕ ДУГИ)

1. Задача, приводящая к понятию криволинейного
интеграла I рода

Пусть   – спрямляемая1) кривая в пространстве , вдоль которой распределена масса. Определим массу кривой  , если плотность распределения массы в каждой точке  равна 

Эту задачу можно решить следующим образом. Разобьем кривую  на  дуг , , …, . На каждой дуге  выберем произвольную точку . Если дуга  мала, то можно считать ее однородной, с плотностью распределения массы . Тогда приближенное значение массы  дуги  будет равно

,

где   – длина .  Так как масса  всей кривой  равна сумме масс ее частей, то

.

Причем разность  будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой . Следовательно, точное значение массы кривой будет равно , (1)

где   – наибольшая из длин .

К пределам вида (1) сводятся и ряд других задач математики и физики. Поэтому представляется целесообразным исследовать такие пределы, отвлекаясь от их конкретного содержания.

Прямая и плоскость, гиперплоскость. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.
Метод интегрирования по частям