Контрольная работа по теме интегралы. Примеры решения задач

Математика
Исследовать систему уравнений Ряды
Вычислить определитель
Векторная алгебра
Дифференциальные уравнения, вычислить интеграл
Вычисление обратной матрицы
Изменить порядок интегрирования
Вычисление производной порядок интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегралы вычисление площади и обьема
Тройной интеграл
Дизайн
Первые всемирные
промышленные выставки
Живопись
Ар Нуво как стиль
Абстрактное искусство
Художественный факультет
Баухауз
Вальтер Гропиус
ВХУТЕМАС
Дисциплина "Цвет"
Дисциплина"Объем"
Студенческие работы
Дизайнерские школы
Дизайн интерьера
Мебель как часть интерьера
Архитектурные формы и стили
История мебельного искусства
Мебель 19 века
Музей мебели 19-20 веков
Информатика
Цифровая система передачи
Концепция организации локальных сетей
Электротехника
Лабораторные работы
Исследование полупроводниковых выпрямителей
Расчет электрической цепи
Начертательная геометрия
Порядок выполнения основной надписи
Построение касательных к двум окружностям
Лекальные кривые
Центральное проецирование
Аксонометрическая проекция
Параллельные прямые
Условие видимости на чертеже
Построение теней
Тени цилиндра
Тени конуса
Линии и поверхности
Поверхности винтовые
Взаимное пересечение поверхностей
Разверка поверхностей
Физика
Курс лекций по физике
Шкала электpомагнитных волн
Интеpфеpенция света
Тепловое (чеpное) излучение.
Фотонная теоpия света
Лазеp с pабочим веществом в виде
смеси неона с гелием
Спектpы ренгеновских лучей
Ядеpные pеакции
Цепная pеакция
Реакторы
Теpмоядеpные pеакции
Теpмоpеактоp типа "Токамак"
 

Геометрические приложения определенного интеграла

Контрольная работа по теме: «Двойные интегралы» Поменять порядок интегрирования в повторном интеграле

Задача .

Найти неопределенные интегралы

Задача . Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Пластинка  задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу пластинки. Дифференциальные уравнения

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Задачи. Найти объем тела, заданного неравенствами.

 

Задача. Вычислить интеграл с точностью до 0,001

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Найти решение задачи Коши

Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Вычислить неопределенные интегралы.

Задача

Вычислить определенные интегралы.

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ось вращения .

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, относительно оси вращения

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

Тройной интеграл

Определение тройного интеграла Рассмотрим некоторую поверхность . Поверхность  называется простой поверхностью, если она распадается на конечное число частей, имеющих уравнение , или , или , причём функции  и  непрерывны в некоторой простой области .

Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.

Найти массу пластинки D плотности γ = ух3, если

Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и

Найти объем тела V, ограниченного поверхностями

Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями z=0, z=4-y2, x2=2y.

С помощью двойного интеграланайти объем тела , ограниченного поверхностями:   x+y=4, x=0, Z=0.

Длина кривой. Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:  

Вычислить работу векторного поля  вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2z2 + 3.

Непосредственное интегрирование. Пример. Найти . В простейших примерах применяется метод непосредственного интегрирования, то есть используются свойства и таблицы интегралов. А именно, при помощи тождественных преобразований подынтегрального выражения исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к сумме табличных интегралов.

Замена переменной под знаком интеграла

Интегрирование рациональной функции Найти интегралы:

Вычислить определенный интеграл 

Далее разберём задачу о вычислении несобственных интегралов . Определённый интеграл, который рассматривался в предыдущей задаче, вычисляется при двух предположениях: отрезок интегрирования [a,b] конечен подынтегральная функция на этом отрезке непрерывна При таких предположениях интеграл называется собственным интегралом. В том случае, если отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, интеграл называется несобственным интегралом.

Вычислим 

Разберём задачу вычислении приближённого значения определённых интегралов по формуле Симпсона.

Вычисление частных производных функции нескольких независимых переменных производится по тем же правилам, по которым вычисляются производные функции одной независимой переменной, следует лишь считать постоянными все независимые переменные, кроме той, по которой вычисляется частная производная. Пример Дана функция двух переменных .

 Найти все частные производные первого и второго порядков. Полное приращение функции определяется по формуле: где - приращения независимых переменных. По определению приращения независимых переменных  и их дифференциалы dx, dy, dz – числа равные между собой.

Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных. Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных.

Рассмотрим теперь интегрирование функций нескольких переменных

 Вычислить двойной интеграл: . По области D: y=x2, y=2-x2. Область D изобразить на чертеже.

Следующая задача относится к вычислению тройного интеграла

Для определения горизонтальных асимптот находим ,  и . Значит, горизонтальная асимптота одна (ось ).

Сделайте подстановку  Определите новые пределы интегрирования

Разделите отрезок интегрирования на 10 равных частей точками

Стационарные точки  находятся вне рассматриваемой области.

По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат