Вычисление производной Методы интегрирования. Контрольная по математике

Вычислить производную функции y=(3x3-2x+1)×sin x.

Найти производную функции y=.

С помощью дифференциала приближенно вычислить величину   и оценить допущенную погрешность.

Найти , если , и  – независимая переменная.

Функция  есть первообразная для функции  на , поскольку  .

Методы интегрирования замены переменной и интегрирование по частям. Интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Применяя сочетание методов подведения под знак дифференциала и разложения, интегралы вида   и  Отметим два, так называемых,

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной). Пример. Найти .

Найти .

Метод интегрирования по частям

Найти . Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл.

Пример. Найти 

Найти .

Иногда при нахождении неопределенного интеграла приходится применять различные методы интегрирования. Пример. Найти  .

Среди правильных дробей различают четыре типа так называемых простейших дробей

Поскольку интегралы от простейших дробей – элементарные функции, то отсюда вытекает следующий вывод: интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции.

Представить в виде суммы простейших дробей рациональные дроби

Найти интегралы от рациональных дробей

Найти .

Найти.

Рассмотрим некоторые случаи рационализации интегралов, содержащих иррациональные функции. Найти .

Интегралы вида . Среди интегралов от иррациональных функций такие интегралы имеют наибольшие практическое применение. Рассмотрим несколько способов интегрирования этих функций.

Интегралы вида , как известно, могут быть выражены через интегралы от рациональных алгебраических функций.

Интегралы 1-го типа всегда можно представить в виде ,  где  – многочлен -й степени с неопределенными коэффициентами,  – также неопределенный коэффициент.

Теория поля Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Найти поток векторного поля  через часть плоскости  ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).

Найти дивергенцию и ротор векторного поля  где

Проверить, является ли векторное поле потенциальным, и в случае положительного ответа найти потенциал и, считая, что в начале координат он равен нулю.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$ применив формулу интегрирования по частям два раза подряд.

Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интегралас бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл

Признак сравнения в предельной форме

Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость

Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится.

Задача . Изменить порядок интегрирования.

Использование понятия неопределенного интеграла в экономике

Рассмотрим различные соотношения между суммарными, средними и маргинальными величинами, использующие понятие неопределенного интеграла. Пример. Найти общую сумму капитального имущества (в у.е.), если известна величина капитального блага в начальный момент времени , которая составляет 10 млрд. у.е. и темп новых инвестиций как функция времени  где t измеряется в годах.