Дифференциальные уравнения. Примеры выполнения контрольной по математике

Задача Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки  где u и v две неизвестные функции.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения 

Найти общее решение дифференциального уравне­ния  Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение 3 порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение

Указать вид частного решения дифференциального уравнения 

Правило расстановки пределов. В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой переменной) в общем случае стоят функции второй переменной.

Криволинейный интеграл второго рода Пусть по кривой MN, расположенной в плоскости хОу, движется материальная точка Р (х, у ), к которой приложена сила F , изменяющаяся по величине и направлению при перемещении точки. Физическая задача вычисления работы силы  при перемещении точки Р из положения М в положение N приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода. Для этого кривая MN разбивается на п произвольных частей точками М=M1,M2,M3,…Mn=N

Вычислить интеграл где L - пробегаемая в положительном направлении окружность радиуса 2 с центром в начале координат.

Задача . Вычислить .

Вычислить .

Вычислить . . . .

При вычислении интегралов вида , где R – рациональная функция, используется универсальная тригонометрическая подстановка , приводящая к интегралам от рациональных относительно t функций Вычислить , если l задана уравнением

Найти работу вектор-силы  на криволинейном пути

Определить, какие ряды сходятся: А)  Б)   В)

Исследовать на сходимость ряды: 1)  2) 

Найти область сходимости функционального ряда

Найти коэффициенты  и  разложения в ряд Фурье функции 

Поверхностный интеграл первого рода Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности).

Вычислить массу поверхности S с распределённой плотностью = 4- z.

К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S. При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция (x,y,z) скорости жидкости.

Вычислить поверхностный интеграл 2-го родапо внешней боковой стороне цилиндра , лежащей в первом октанте и ограниченной плоскостями х = 0,5, х = 1, у =0,5, причём 0,5 < х < 1, у > 0,5.

Вычислить интеграл  по верхней стороне полусферы

Найти формулу вычисления объема шара. В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности. Уравнение шара имеет вид:

Изменить порядок интегрирования.

Вычислить. 

Вычислить:  

Задача вычислить:

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: у2-4у+х2=0;  у2-8у+х2=0; ; Указание. В этой задаче двойной интеграл удобнее вычислять в полярной системе координат.

Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность.

Найти массу пластины.

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями: х2+у2+2х=0; z=25/4 –y2; z=0.

Решение: Возведя в квадрат обе части первого уравнения и переписав его в виде x2+y2+z2=36, находим, что первое уравнение есть уравнение верхней половины сферы с центром в начале координат и радиусом равным 6 (верхней потому что перед корнем стоит знак «+»). Второе уравнение приводится к виду z2=(x2+y2)/3. Это есть уравнение конуса, образованного вращением прямой  вокруг оси oz.

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями z=10(x2+y2)+1; z=1-20y.

Вычислить площадь, ограниченную параболой   и прямыми  и .

Найти длину дуги , отсеченную прямой .

Вычислить длину кардиоиды , соответствующую .

Вычислить площадь, ограниченную кривыми

Вычислить

Вычислить площадь эллипса с полуосями

Вычислить площадь, ограниченную кривой .

Найти длину дуги астроиды

Найти длину дуги окружности радиуса , записав её уравнение в полярных координатах

Найти объём шара радиуса .

Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на пластинку площади  с глубиной погружения  равна , где   - плотность жидкости,  - ускорение свободного падения.

Найти силу давления , испытываемую полукругом радиуса , погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды

Найти момент инерции однородной пластинки, имеющей форму треугольника с основанием  и высотой , относительно его основания. Будет предполагать пластинку однородной, так что её поверхностная плотность равна  (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) будет постоянной и, следовательно, , где  - площадь пластинки.

Найти статический момент однородной пластинки, имеющей форму полукруга радиуса  и плотность , относительно основания полукруга.

Вычислить

Оценить сходимость

Оценить сходимость несобственного интеграла   при различных значениях .

Исследовать сходимость .

Исследовать сходимостьинтеграла .

Доказать, что интеграл  сходится равномерно относительно параметра .

Интеграл Дирихле. Вычислить  .

Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью